급수 가열기 배수 배관 선정 (Cascade Heater Drain Line Sizing) - Rev. 1

1. 서론

2. 해석 절차

 

2.1 설계 입력 조건

 

2.2 LCV 전단 압력 (P2) 계산

 

2.3 LCV 후단 배관 유동 확인

 

2.4 LCV 출구 압력 (P3) 계산

 

2.5 배관 침식 확인

 

2.6 LCV 출구 압력 (P3) 확인

3. 임계 압력(Critical Pressure) 계산

 

3.1 dP/dRo 방식

 

3.2 Bosworth-Cahn 공식

 

3.3 Allen 공식

4. 2상 유동 해석

 

4.1 비압축성 유체로 해석하는 방법

 

4.2 Fanno Line 공식으로 해석하는 방법

 

4.3 일반 에너지 방정식으로 해석하는 방법


프린트 화면

 

1. 서론  (차례)

폐쇄형 급수 가열기(Closed Type Feedwater Heater)의 응축수 배수는 정상 운전의 경우 다음 그림과 같이 수위 조절 밸브(Level Control Valve, 이하 LCV)를 거쳐 그 다음 낮은 압력의 급수 가열기로 배출되며, 비상 사태의 경우에는 복수기로 배출됩니다.

그런데 이러한 급수 가열기의 배수는, 급수 가열기의 내부 증기 압력에 해당하는 포화수(Saturated Water)이거나 혹은 배수 냉각기(Drain Cooler)가 설치된 경우에는 약간의 과냉수(Subcooled Water)로서, 대부분의 경우 이러한 배수의 온도는 배출되는 용기, 즉 저압 급수 가열기나 혹은 복수기 압력에서의 포화 온도보다 높아, LCV 후단 배관에서 강제 증발(Flash) 현상이 발생합니다.  즉, LCV 후단 배관에서는 2상 유동(2 Phase Flow) 현상이 발생하며, 이러한 2상 유동 현상을 적절히 해석하여 배관 및 LCV를 선정해야만 급수 가열기 배수 계통의 원할한 운전을 확보할 수 있습니다.

 

2. 해석 절차  (차례)

급수 가열기 배수 배관을 해석하는 목적은, 모든 운전 조건에 대하여 원하는 급수 가열기 배수 유량을 배출 용기에 보낼 수 있는 최적의 배관 구경과 경로를 선정하고, LCV 구매를 위한 각 운전 조건에서의 LCV 전후단 압력을 계산하기 위한 것입니다.

해석은 정격 유량 운전 조건뿐만 아니라, 필요하다고 판단되거나 의심스러운 모든 운전 조건에 대해 수행하여야 합니다.  특히, 상류측 급수 가열기가 우회(Bypass)되는 운전 모드가 존재하는 경우에는 그 경우에 최대 유량이 발생하므로 반드시 해석해야 하며, 증기 터빈 최저 부하에서는 급수 가열기와 배출 용기의 압력 차가 적어 원하는 유량이 흐르지 않을 수도 있으므로 해석해 보는 것이 바람직합니다.

아울러, 해석 과정 중에 배관의 침식 정도 및 LCV의 충분한 압력 차 확보 여부도 확인해야 합니다.

 

2.1 설계 입력 조건 (차례)

해석을 위해서는 다음과 같은 설계 조건이 주어져야 합니다.

- 급수 가열기 배수 조건 (압력, 온도, 유량)

- 배출 용기 (저압 급수 가열기 혹은 복수기) 압력

- LCV를 포함한 배수 배관 경로 도면(Isometric Sketch)

- LCV 전후단 배관 구경

 

2.2  LCV 전단 압력 (P2) 계산  (차례)

LCV 전단에서는 강제 증발(Flash) 현상이 일어나지 않고, 전 운전 범위에 걸쳐 항상 물 상태로 흐르도록 설계해야 합니다.

고압 급수 가열기에 배수 냉각기가 설치된 경우에는 강제 증발이 일어나지 않도록 하는데 별 문제가 없으나, 그렇지 못한 경우에는 고압 급수 가열기 출구에서 LCV까지 충분한 높이의 수직 배관을 설치하여 위치 수두에 의해 강제 증발이 일어나지 않도록 하여야 합니다.   필요한 경우에는, LCV 전단 배관 구경을 키워 마찰 손실을 줄여 강제 증발을 막을 수도 있습니다.

LCV 전단 배관에서 강제 증발을 막기 위하여 수직 배관을 설치하는 경우에, 배출 용기의 설치 위치에 따라 LCV 후단 배관에 수직 상승 배관이 포함되어 LCV 후단 배관의 강제 증발을 촉진하는 결과를 초래할 수 있습니다.    하지만, LCV 후단 배관은 비체적이 큰 압축성 유체 유동이므로 위치 상승에 의한 압력 감소 효과가 적어, 큰 영향이 없습니다.

LCV 전단에서 항상 물이 흐르도록 확보해야 하는 이유는, 밸브 내부 부품의 침식 문제뿐만 아니라, 강제 증발이 발생해 2상 유동이 형성되는 경우에는 LCV를 통과하는 액체의 비체적(Specific Volume)이 일정치 않아 수위 조절 기능을 제대로 할 수 없기 때문입니다.

전 운전 범위에 걸쳐 항상 물이 흐르도록 확보한 후에, 일반 비압축성 유체 해석 방법에 따라 베르누이 공식을 이용해 LCV 전단 압력(P2)을 계산합니다.

 

2.3  LCV 후단 배관 유동 확인  (차례)

LCV 후단 배관에서 강제 증발 현상이 발생하는지 여부를 다음과 같이 확인합니다.

경우

유동

Pr >= Pva

LCV 후단에 물이 흐르며, 일반 단상 유동(Single Phase Flow)입니다.

Pr < Pva

LCV 후단 배관에서 강제 증발(Flash)이 발생하며, 2상 유동(Two Phase Flow)입니다.

주)

Pr

: 배출 용기 압력 (Receiver Pressure)

 

Pva

: 배수 온도에서의 포화 압력 (Saturation Pressure at Drain Temperature)

 

2.4 LCV 출구 압력 (P3) 계산  (차례)

2.4.1 단상 유동 (Single Phase Flow)

LCV 후단 배관 출구 압력(P4)은 배출 용기 압력(P5)와 동일하며, 일반 비압축성 유체 해석 방법에 따라 베르누이 공식을 이용해 LCV 출구 압력(P3)을 계산합니다.

2.4.2  2상 유동 (Two Phase Flow)

임계 유동이 존재할 수 있으므로, 임계 압력을 계산하여(3절 참조) LCV 후단 배관 출구 압력 (P4)를 선정한 다음, 2상 유동 해석 방법(4절 참조)을 이용해 LCV 출구 압력(P3)을 계산합니다.

임계 압력(Pc)과 배출 용기 압력에 따른 LCV 후단 배관 출구 압력(P4)는 다음과 같이 선정합니다.

경우

출구 압력 (P4)

유동

Pva > Pr >= Pc

Pr

아 임계 유동(Sub-critical Flow)

Pva > Pc > Pr

Pc

과 임계 유동(Choked Flow)

Pc > Pva > Pr

Pva

단상 유동 (Single Phase Flow)

위 표의 끝 줄에 기술된 단상 유동은, 비록 배출 용기 압력(Pr)이 배수 온도에서의 포화 압력(Pva) 보다 낮아 강제 증발이 일어날 수 있는 조건이지만, 임계 압력Pc)이 포화 압력보다 높아 배관 내의 유체가 액상을 유지하는 경우입니다.

 

2.5 배관 침식 확인  (차례)

강제 증발이 발생하는 2상 유동의 경우 배관 Elbow에서의 침식(Erosion) 정도를 확인해 보아야 합니다.

증기와 물이 함께 흐르는 2상 유동이 Elbow를 지나면서 흐름이 방향이 바뀌게 되는데, 이때 흐름의 바깥쪽, 즉 Elbow의 바깥쪽 벽의 압력이 높아져서 일부 증기가 붕괴하는 증기 공동(Cavitation) 현상이 발생하여 침식이 일어납니다.

이러한 배관 Elbow에서의 침식 정도를 측정하는 기준으로, LCV 후단 배관 출구 조건에서의 Momentum Force 값을 계산해, 이 값이 35 kg이 넘지 않도록 하여야 합니다. (참고 문헌 3)

Fmom = 1.414 * W * V / g

(주)

Fmom

: Momentum Force, kg

 

W

: 배수 유량, kg/sec

 

V

: 해당 Elbow에서의 유속, m/sec

 

g

: 중력 가속도 = 9.81 m/sec2

만일 이러한 기준을 초과하는 LCV 후단 배관에서 Elbow 설치를 피할 수 없은 경우에는, Elbow 대신 직통 유로(Through-run)가 막히고 흐름이 굴절 유로(Through-branch)를 통해 흐르는 Tee를 Elbow 대신 설치하여, 침식 작용이 Tee의 Blind Flange에서 발생하도록 하는 방법을 사용하거나, 혹은 두꺼운 두께의 Cast-iron Elbow를 사용하기도 합니다.

 

2.6  LCV 출구 압력 (P3) 확인  (차례)

LCV에 포화 수가 유입되는 경우에는, LCV의 오리피스(Orifice)에 임계 유동(Critical Flow)을 만들어 줌으로써, LCV의 출구 압력에 의해 영향을 받지 않고 단지 LCV 오리피스의 열린 면적에 의해서만 유량이 조절되도록 합니다.

LCV에 이러한 임계 유동을 확보하기 위해서는, LCV 출구 압력 P3가 LCV의 임계 압력 Pcv 보다 작아야 합니다. 즉,

Pcv > P3

를 만족해야 하며, LCV의 임계 압력은 다음 식으로 계산합니다.

Pcv = Pva * {0.96 - 0.28 * (Pva / Pwc)^(0.5)}

(주)

Pcv

: LCV의 임계 압력, kg/cm2 abs.

 

Pva

: 배수 온도에서의 포화 압력, kg/cm2 abs.

 

Pwc

: 물의 임계 압력 = 225.6 kg/cm2 abs.

 

3. 임계 압력 (Critical Pressure) 계산  (차례)

임계 압력이란 압축성 유체 즉 기체 유동에서 발생하는 현상으로 출구 유속이 음속과 동일해지는 압력입니다.  유로를 지나는 기체 유동에서 출구측의 압력이 임계 압력에 도달하기 전까지는 일반 마찰 유동에서와 같이 출구측 압력을 낮추면 유량이 증가합니다.   하지만, 출구측 압력이 임계 압력 이하로 낮아지면 그때부터는 아무리 출구측 압력을 낮추어도 유량은 더 이상 증가하지 않고 유로 출구 압력만 증가하며, 유로 출구 압력과 출구측 압력 사이의 에너지는 충격파(Shock Wave)나 난류 유동(Turbulent Flow)에 의해 소멸됩니다.

이들 유동의 압력, 유량 및 유속의 상관 관계를 표시하면 다음과 같습니다.

유동

압력

유량

유속

아임계 유동

(Sub-critical Flow)

P4 = P5 > Pc

F < Fc

V4 < Vc

임계 유동

(Critical Flow)

P4 = P5 = Pc

F = Fc

V4 = Vc

과임계 유동

(Choked Flow)

P4 = Pc > P5

F = Fc

V4 = Vc

주)

Pc

: 임계 압력 (Critical Pressure)

 

Fc

: 임계 유량 (Critical Flow Rate)

 

Vc

: 임계 유속 = 음속 (Critical Velocity = Sonic Velocity)

압력이 P4 = Pc > P5 상태인 유동을 과임계 유동(Choked Flow)이라고 명칭한 것은 초임계 유동(Super-critical Flow)과 구분하기 위한 것입니다.  초임계 유동이란, 임계 유동이 일어나는 지점에 De-Laval 노즐(축소-확대 노즐)을 두어 노즐 출구측 유속을 초음속으로 만드는 유동인데, 이러한 유동은 일반 배관에서는 만들 수 없습니다.

압축성 유체의 이러한 임계 유동 특성 때문에, 급수 가열기 배수 계통의 LCV 후단 배관의 유동을 해석하기 위해서는 임계 압력을 계산하여, 계산된 임계 압력과 배출 용기의 압력을 비교하여 후단 배관 출구 압력(P4)를 선정하여야 합니다.

여러 문헌에 소개되어 있는 임계 압력 계산 방법은 다음과 같습니다.

 

3.1 dP/dRo 방법  (차례)

참고 문헌 1에 소개되어 있는 방법으로, 증기 표를 이용해 계산하는 방법입니다.  이 방법은 주어진 조건에서 임계 압력을 계산하는 것이 아니고, 거꾸로 필요로 하는 범위의 임계 압력에 대하여 단위 면적당 임계 유량을 계산하여 표로 만들어 놓은 다음, 그 표를 이용해 주어진 단위 면적당 임계 유량에서 임계 압력을 찾아내는 방법입니다.

마찰이 존재하는 배관의 유동은 등엔트로피 팽창 과정과 등엔탈피 과정 사이의 중간 과정입니다.   하지만 참고 문헌 1에서는, 등엔트로피 과정으로 해석하나 등엔탈피 과정으로 해석하나 그 결과 값은 크게 차이가 나지 않는다는 이전 문헌의 기술 내용을 들어, 임계 압력을 계산할 때 등엔트로피 과정을 사용하였습니다.

그 방법을 쉽게 설명하기 위하여, 고압 급수 가열기 배수 온도에서의 포화수 압력(Pva)이 7 kg/cm2 abs., 임계 압력(Pc)이 0.5 kg/cm2 abs. 인 경우의 예를 들어 단위 면적당 임계 유량(W/Ac)을 구해보도록 하겠습니다.   고압 급수 가열기 배수 온도에서의 포화수 압력(Pva)이 7 kg/cm2 abs. 라는 것은, 고압 급수 가열기 내부 압력이 얼마이던지 간에 고압 급수 가열기 배수 온도가, 7 kg/cm2 abs. 에서의 포화 온도인 164.2 oC 라는 의미입니다.

가)

7 kg/cm2 abs. 포화수가 0.5 kg/cm2 abs. 압력으로 등엔트로피 과정을 통해 팽창할 때의 밀도 값을 계산합니다.

항목

공식 혹은 출처

결과

7 kg/cm2 abs. 포화수의 엔트로피(Sva)

증기 표

0.47387 kcal/kg/K

0.5 kg/cm2 abs. 포화수 엔트로피 (Sf)

증기 표

0.25925 kcal/kg/K

0.5 kg/cm2 abs. 포화증기 엔트로피 (Sg)

증기 표

1.81557 kcal/kg/K

0.5 kg/cm2 abs. 포화수 비체적(vf)

증기 표

0.00103 m3/kg

0.5 kg/cm2 abs. 포화증기 비체적 (vg)

증기 표

3.30061 m3/kg

등엔트로피 팽창시의 증기 질(x, Quality)

(Sva - Sf) / (Sg - Sf)

0.1379

등엔트로피 팽창시의 밀도(Ro)

1 / (vf + x * (vg - vf))

2.19278 kg/m3

나)

7 kg/cm2 abs. 포화수가 0.51 kg/cm2 abs. 압력으로 등엔트로피 과정을 통해 팽창할 때의 밀도 값을 계산합니다.

항목

공식 혹은 출처

결과

7 kg/cm2 abs. 포화수의 엔트로피(Sva)

증기 표

0.47387 kcal/kg/K

0.51 kg/cm2 abs. 포화수 엔트로피 (Sf)

증기 표

0.26064 kcal/kg/K

0.51 kg/cm2 abs. 포화증기 엔트로피 (Sg)

증기 표

1.81396 kcal/kg/K

0.51 kg/cm2 abs. 포화수 비체적(vf)

증기 표

0.00103 m3/kg

0.51 kg/cm2 abs. 포화증기 비체적 (vg)

증기 표

3.24045 m3/kg

등엔트로피 팽창시의 증기 질(x, Quality)

(Sva - Sf) / (Sg - Sf)

0.137274

등엔트로피 팽창시의 밀도(Ro)

1 / (vf + x * (vg - vf))

2.24357 kg/m3

다)

7 kg/cm2 abs. 포화수가 0.49 kg/cm2 abs. 압력으로 등엔트로피 과정을 통해 팽창할 때의 밀도 값을 계산합니다.

항목

공식 혹은 출처

결과

7 kg/cm2 abs. 포화수의 엔트로피(Sva)

증기 표

0.47387 kcal/kg/K

0.5 kg/cm2 abs. 포화수 엔트로피 (Sf)

증기 표

0.25782 kcal/kg/K

0.5 kg/cm2 abs. 포화증기 엔트로피 (Sg)

증기 표

1.81722 kcal/kg/K

0.5 kg/cm2 abs. 포화수 비체적(vf)

증기 표

0.00103 m3/kg

0.5 kg/cm2 abs. 포화증기 비체적 (vg)

증기 표

3.3642 m3/kg

등엔트로피 팽창시의 증기 질(x, Quality)

(Sva - Sf) / (Sg - Sf)

0.138547

등엔트로피 팽창시의 밀도(Ro)

1 / (vf + x * (vg - vf))

2.141387 kg/m3

라)

 0.5 kg/cm2 abs. 압력으로 등엔트로피 팽창한 습증기의 음속을 계산합니다.

항목

공식 혹은 출처

결과

0.51 kg/cm2 abs.(P1) 습증기의 밀도 (Ro1)

나)항 계산 결과

2.24357 kg/m3

0.49 kg/cm2 abs.(P2) 습증기의 밀도 (Ro2)

다)항 계산 결과

2.141387 kg/m3

0.50 kg/cm2 abs. 습증기의 음속 (Vs)

{(P1 - P2) / (Ro1 - Ro2) * 9.81}*100

138.6 m/sec

유체의 음속(Sonic Velocity) 계산 식은 다음과 같습니다.

Vs = (dP / dRo * g)^0.5 * 100

(주)

Vs

: 음속 (Sonic Velocity), m/sec

 

dP

: 압력 변화, kg/cm2

 

dRo

: 압력 변화에 따른 밀도 변화, kg/m3

 

g

: 중력 가속도, 9.81 m/sec2

마)

 0.5 kg/cm2 abs. 압력으로 등엔트로피 팽창한 습증기의 단위 면적당 임계 유량을 계산합니다.

항목

공식 혹은 출처

결과

0.5 kg/cm2 abs. 압력에서의 밀도 (Ro)

가)항 계산 결과

2.19278 kg/m3

0.5 kg/cm2 abs. 압력에서의 음속 (Vs)

라)항 계산 결과

138.6 m/sec

단위 면적당 임계 유량 (W/Ac)

Ro * Vs

303.9 kg/sec/m2

위와 같은 방법으로, 필요로하는 범위의 압력 값에 대하여 임계 압력(Pc)과 단위 면적당 임계 유량(W/Ac)를 계산하여 선도로 만들어 놓은 다음, 설계시에는 주어진 조건에서의 단위 면적당 유량을 계산하여 선도로부터 임계 압력을 읽는 것입니다.    예를 들어, 어느 급수 가열기 배수 계통에서 LCV 후단 배관의 단위 면적당 유량이 303.9 kg/sec/m2 이고, 배수 온도가 164.2 oC (배수의 포화수 압력 7 kg/cm2 abs.)인 경우, 선도에서 임계 압력을 찾으면 0.5 kg/cm2 abs.가 찾아지는 것입니다.

 

3.2 Bosworth-Cahn 공식  (차례)

위에 소개된 dP/dRo 방식에 의해 그려진 선도를 식으로 나타낸 공식으로, 다음과 같습니다. (참고 문헌 2)

Pc = 0.001609 * Pva^(0.2) * (W/A)^(0.9388)

(주)

Pc

: 임계 압력 (Critical Pressure), kg/cm2 abs.

 

Pva

: 배수 온도에서의 포화수 압력, kg/cm2 abs.

 

W

: 배수 유량, kg/sec

 

A

: LCV 후단 배관 단면적, m2

이 공식으로 앞 절에서의 계산 예인 Pva = 7 kg/cm2 abs., W/A = 303.9 kg/sec/m2 에 대해 계산해 보면 Pc = 0.508585 kg/cm2 abs. 으로 계산되어, 거의 동일한 결과 값을 구할 수 있습니다.

 

3.3 Allen 공식  (차례)

앞에 기술된 두 공식은 LCV 후단 배관 유동을 등엔트로피 과정 해석했을 때의 임계 압력을 구하는 식인 반면, Allen 공식은 등엔탈피 과정으로 해석했을 때의 임계 압력을 구하는 공식입니다.   그러한 까닭에 배출 용기인 저압 급수 가열기나 복수기의 압력에서의 엔탈피 값이 임계 압력 계산에 필요합니다.

C = { (Hf1 - Hf2) / (Pva - Pr) * 2 * vfg1 / (Hfg1 + Hfg2) / g }^(0.5) / 100

(주)

C

: 임계 압력 계수 (Critical Pressure Coefficient), m2-sec/kg

 

Pva

: 배수 온도에서의 포화수 압력, kg/cm2 abs.

 

Pr

: 저압 급수 가열기 혹은 복수기 압력, kg/cm2 abs.

 

Hf1

: Pva에서의 포화수 엔탈피, kcal/kg

 

Hf2

: Pr에서의 포화수 엔탈피, kcal/kg

 

vfg1

: Pva에서의 증발 비체적 (포화증기 비체적 - 포화수 비체적), m3/kg

 

Hfg1

: Pva에서의 증발 엔탈피 (포화증기 엔탈피 - 포화수 엔탈피), kcal/kg

 

Hfg2

: Pr에서의 증발 엔탈피, kcal/kg

 

g

: 중력 가속도, 9.81 m/sec2

Pc = W / A * C * Pva

주)

Pc

: 임계 압력 (Critical Pressure), kg/cm2 abs.

 

W

: 배수 유량, kg/sec

 

A

: LCV 후단 배관 단면적, m2

 

C

: 임계 압력 계수 (Critical Pressure Coefficient), m2-sec/kg

 

Pva

: 배수 온도에서의 포화수 압력, kg/cm2 abs.

앞에서의 예에 대해 Allen 공식으로 임계 압력을 계산하면 다음과 같습니다.   Pr은 0.5 kg/cm2 abs.로 가정하였습니다.

항목

공식 혹은 출처

결과

Pva

주어진 값

7 kg/cm2 abs.

Pr

주어진 값

0.5 kg/cm2 abs.

Hf1

증기 표

165.67 kcal/kg

Hf2

증기 표

80.85 kcal/kg

vfg1

증기 표

0.27668 m3/kg

Hfg1

증기 표

493.82 kcal/kg

Hfg2

증기 표

550.94 kcal/kg

C

위 식

0.00026543 m2-sec/kg

W/A

주어진 값

303.9 kg/sec/m2

임계 압력 Pc

위 식

0.56465 kg/cm2 abs.

Allen 공식으로 계산한 임계 압력 값이 다른 두 식으로 계산한 값보다 크게 계산되는 이유는, 다른 두 식은 등엔트로피 과정으로 해석하는 반면, Allen 공식은 팽창과정을 등엔탈피 과정으로 해석하므로 등엔트로피 과정으로 해석하는 것보다 배관 출구측 에너지가 크게 해석되기 때문입니다.

 

4.  2상 유동 해석  (차례)

2상 유동도 일종의 압축성 유동(Compressible Flow)이므로, 기체의 유동과 동일한 방법으로 해석합니다.

Crane Technical Paper에서는 배관의 압력 강하가 배관 입구 압력의 10% 이내인 경우에는 배관 입구 기체의 비체적을 사용해 마찰 손실을 계산하고, 10%와 40% 사이인 경우에는 배관 입구와 출구 기체의 평균 비체적으로 사용해 마찰 손실을 계산하며, 40% 이상인 경우에는 압축성 유체 해석 방법을 사용해야 한다고 기술하고 있습니다.

일반적으로 노즐(Nozzle)이나 오리피스(Orifice)의 압축성 유체 유동은 유로 마찰 손실이 존재하지 않으므로 등엔트로피 과정으로 해석하며, 배관을 통한 압축성 유체 유동은 단열 및 일정 단면적(Adiabatic and Constant Flow Area) 유로의 압축성 유체 해석 방법인 Fanno Line 공식을 이용해 해석합니다. 

배관을 통한 압축성 유동은 사실상 등엔트로피 과정도 아니고 등엔탈피 과정도 아니며, 그 중간 과정이라고 할 수 있습니다.   배관 벽을 통한 열전달이 없는 단열 과정이라고 할지라도, 다시 원상태로 되돌릴 수 없는 마찰 손실이 존재하므로 가역 과정인 등엔트로피 과정도 아니며, 과정 중의 유체 속도 변화가 커서 유체의 일부 엔탈피가 속도 에너지로 변환되므로 등엔탈피 과정도 아닙니다.  한가지 특이한 점은, 물의 2상 유동의 경우 등엔트로피 과정으로 해석하나 등엔탈피 과정으로 해석하나 비체적 변화 차이가 크지 않아 그 해석 결과에는 큰 차이가 없다는 점이며, 이러한 특성 때문에 급수 가열기 배수 배관의 해석에도 이들 2가지 해석 방법을 모두 사용합니다.

한편, 배관을 통한 압축성 유체를 해석하는 경우에는 유로 단면적이 일정하거나 혹은 흐름 방향을 따라 축소되는 경우에 유효합니다.   유로 단면적이 흐름 방향을 따라 확대되는 경우에는, 확대되는 지점을 기준으로 상류측과 하류측을 분류하여 해석하여야 합니다.   그 이유는, 유로 단면적이 확대되는 경우에는 확대되는 지점의 작은 단면적에서 과임계 유동(Choked Flow)이 발생할 수 있으므로, 유동의 불연속성 여부를 확인하여 과임계 유동이 존재하는 경우에는 별도의 유동으로 해석해야 하기 때문입니다.

이상 기체의 경우 상태 변화에 따른 기체 성질들을 하나의 식으로 표현할 수 있기 때문에, 전체 유동을 하나의 식으로 표현할 수 있지만, 물과 증기, 특히 포화 습증기의 경우에는 상태에 따른 성질들의 변화를 식으로 표현하기가 어려우므로, 적절한 가정하에 여러 가지 유사 공식을 사용하여 해석합니다.

이러한 가정들 중에 공통적인 가정은, 물의 강제 증발에 의한 2상 유동이 균질 유동(Homogeneous Flow)이라는 것입니다.  즉, 강제 증발에 의해 물과 포화 증기가 함께 흐를 때, 물과 포화 증기가 상하로 분리되어 흐르는 것이 아니고, 균일한 분포로 혼합되어 흐른다는 가정입니다.  이는 증기 표에 의해 계산되는 습포화 증기의 성질을 유동 유체의 대표 성질로 사용하기 위한 가정인데, 실제 유동의 경우 물과 포화 증기가 분리되어 흐르지 않는다고 단정할 수는 없습니다.

 

4.1  비압축성 유체로 해석하는 방법  (차례)

이 방법은 앞에서 소개한 Crane Technical Paper의 10% 압력 강하 기준을 적용한 방법으로, 압력 강하가 처음 압력의 10%가 넘지 않도록 LCV 후단 배관을 여러 부분으로 나누어 각각의 단위 배관 유동을 비압축성 유체로 해석하는 방법입니다.

앞에서 언급하였듯이 압축성 유동에서 유속이 큰 경우에는 속도에너지 변화를 고려해 주어야 하며, 단열 과정의 경우 엔탈피와 속도에너지의 관계는 다음과 같습니다.

Ht = H + V^2 / 2 / g / J

(주)

Ht

: 총 엔탈피 (Total Enthalpy), kcal/kg

 

H

: 엔탈피 (Enthalpy), kcal/kg

 

V

: 유속, m/sec

 

g

: 중력 가속도, 9.81 m/sec

 

J

: Joule 상수, 427 kg-m/kcal

즉, 속도에너지는 엔탈피가 변한 값이며, 단열 과정의 경우 총 엔탈피 값은 일정합니다.

LCV 후단 배관 출구(4 지점)에서 LCV 출구(3 지점) 방향으로, 즉 흐름 역 방향으로 10% 압력 강하 구간으로 나누어 등엔탈피 과정(즉 엔탈피 값 일정)으로 LCV 출구 지점(3) 값들을 계산하는 방법을 단계별로 설명하면 다음과 같습니다.  만일 나누어진 10% 구간 내에 Elbow가 있다면, Elbow까지를 하나의 구간으로 나누고, 그 Elbow로부터 다시 10% 압력 강하 구간을 선정합니다.

1)

급수 가열기 출구 배수의 압력(P1)과 온도(T1)로 증기 표에서 배수의 엔탈피(H1)을 구합니다.

2)

등엔탈피 과정을 이용한 Allen 공식(3.3 참조)으로 임계 압력을 계산한 후, LCV 후단 배관 출구 압력(P4)를 선정합니다. (2.4.2 참조)

3)

급수 가열기 출구 배수의 속도는 에너지 측면에서 볼 때 무시할 정도로 작으므로, Ht = H1 입니다.

4)

H4 = Ht로 가정합니다.

5)

 P4, H4 로 증기 표에서 LCV 후단 배관 출구 온도(T4) 및 비체적(v4)을 구합니다.    그리고 4 지점에서의 유속(V4)을 계산합니다.

6)

H4 = Ht - V4^2 / 2 / g / J 공식으로 속도에너지가 고려된, 새로운 H4 값을 계산합니다.

새로 계산한 H4 값과 이전의 H4 값의 차이가 무시할 정도로 작으면, 다음 7) 단계로 넘어가고, 그렇지 않으면 새로운 H4 값을 가지고 5) 단계 과정을 되풀이합니다.

7)

배관 및 밸브, 휫팅류 등의 총 마찰 저항 계수(Resistance Coefficient, K)에 의한 압력 강하 값(dP)가 P4 * 0.1 되는 상류측 지점(4_1 지점이라고 칭하기로 함.)을 알아 냅니다.   마찰 압력 강하는 비압축성 유체의 마찰 손실 계산 공식인 Darcy-Weisbach 공식과 Moody 선도의 마찰 계수(Friction Factor, f)를 사용하여 계산하며, 비체적으로는 앞에서 구한 v4값을 사용합니다.

8)

H4_1 = Ht로 가정합니다.

9)

P4 / 0.9 (= P4_1) 와 H4_1 으로 증기표에서 첫 번째 10% 압력 강하가 일어나는 지점(4_1)에서의 온도(T4_1) 및 비체적(v4_1)을 구합니다.   그리고 4_1 지점에서의 유속(V4_1)을 계산합니다.

10

H4_1 = Ht - (V4_1)^2 / 2 / g / J 공식으로 속도에너지가 고려된, 새로운 H4_1 값을 계산합니다.

새로운 H4_1 값과 이전의 H4_1 값의 차이가 무시할 수 없을 정도로 크면, 새로운 H4_1 값을 가지고 9)단계 과정을 되풀이 합니다.

새로 계산한 H4_1 값과 이전의 H4_1 값의 차이가 무시할 정도로 작으면, 4_1 지점의 온도, 비체적 등을 증기 표에서 구하고, Elbow인 경우에는 Force Density를 계산한 다음, 그 다음 10% 압력 강하 지점(4-2)을 계산하는 단계로 넘어갑니다.

11)

이러한 10% 압력 강하 계산 과정을 반복하여 LCV 출구(3 지점) 값들을 계산합니다.

 

 4.2 Fanno Line 공식으로 해석하는 방법  (차례)

참고 문헌 1에서 사용한 방법입니다. 등엔트로피 과정으로 임계 압력을 구하는 dP/dRo 방식(3.1절 참조)에 의해 임계 압력을 계산하고, 이상 기체의 음속(Sonic Velocity) 계산 공식으로부터 습증기의 가상 비열비(k = cp/cv)을 계산한 후, Fanno Line 공식으로 LCV 출구 조건을 계산하는 방법입니다.

Fanno Line 공식은 일정한 단면적의 유로를 흐르는, 마찰 손실이 존재하는 단열 과정(Adiabatic Process)의 이상 기체 유동을 나타내는 공식으로, 다음과 같은 가정을 전제로 하고 있습니다.

한글

영어

비열비(k = cp/cv)가 일정한 이상 기체

Perfect gas (constant specific heat)

1차원 정상류 유동

Steady, one-dimensional flow

전 유로에 걸쳐 일정한 마찰 계수

Constant friction factor over length of conduit

단열 유동(벽을 통한 열전달 없음.)

Adiabatic flow (no heat transfer through wall)

원형 유로가 아닌 경우에, 유효 직경 D는 수력 반경(유동(Flow) 단면적 / 젖은 둘레 길이)의 4배로 계산

Effective conduit diameter D is four times hydraulic radius (cross-sectioned area divided by wetted perimeter)

위치 수두의 변화는 마찰 손실에 비해 무시할 정도로 작음.

Elevation changes are unimportant compared with friction effects

일의 출입이 없음.

No work added to or extracted from the flow

해당 공식의 유도 과정은 관련 유체 서적을 참고 하기로 하며, 여기서는 그 공식과 적용 방법만을 소개합니다.

 

4.2.1  가상 비열비(Pseudo Specific Heat Ratio k = cp/cv) 계산  (차례)

Fanno LIne 공식을 사용하기 위하여 다음과 같은 방법으로 습증기의 가상 비열비(= 등엔트로피 지수)를 계산합니다.

이상 기체의 음속 계산 식은 다음과 같습니다.

Vc = (k * g * P * v)^(0.5) * 100

(주)

Vc

: 음속 (Sonic Velocity), m/sec

 

k

: 비열비 (Specific Heat Ratio)

 

P

: 압력, kg/cm2 abs.

 

v

: 비체적, m3/kg

 

g

: 중력 가속도 = 9.81 m/sec2

음속과 압력, 비체적 값을 아는 경우에는 위 식으로부터 비열비 k를 계산할 수 있으므로, 임계 압력에서의 k 값을 다음 식으로 계산됩니다.

k = (Vc / 100)^(2) / g / Pc / vc

위 식에서 필요한 Vc 값과 Pc 값, vc 값은 dP/dRo 방식(3.1절 참조)으로 임계 압력을 계산할 때 구해지는 값들입니다.

이상 기체의 경우 k 값이 일정하지만, 습증기의 경우 k 값이 증기 질(Quality)에 따라 다르며, 실제로 증기 표에 나타난 k 값과 이렇게 구한 k 값은 상당한 차이가 있습니다.   즉, 이렇게 구한 k 값은 단지 Fanno Line 공식에서만 사용하기 위해 계산한 k 값이라 하여, 가상 비열비(Pseudo Specific Heat Ratio 혹은 Pseudo Isentropic Exponent)라고 부릅니다.

 

4.2.2  LCV 출구 압력 (P3) 계산  (차례)

가)  과임계 유동(Choked Flow)

아래 그림에 나타난 바와 같이, 과임계 유동인 경우 LCV 후단 배관 출구 압력은 임계 압력(Pc)이며, 출구 유속은 음속으로, 마하 수(Mach No.)는 1입니다.

이 경우 LCV 출구 마하 수(M3)와 배관의 마찰 저항 계수(K)와의 관계를 나타내는 Fanno Line 공식은 다음과 같습니다.

아래 식에서 K 값과 k 값을 안다고 해도 직접 M3 값을 계산하기는 쉽지 않으며, 보통 컴퓨터 프로그램으로 0 < M3 < 1 사이 값을 넣어 시행 착오법으로 계산합니다.

K = 1 / k * (1 / M3 ^ 2 - 1) + (k + 1) / 2 / k * ln(M3 ^ 2 * (k + 1) / ((k - 1) * M3 ^ 2 + 2))

(주)

K

: LCV 후단 배관의 마찰 저항 계수 (Flow Resistance Coefficient), K = f * L / D

 

k

: 습증기의 가상 비열비 (Pseudo Specific Heat Ratio), cp/cv

 

M3

: LCV 출구 마하 수 (LCV Outlet Mach No.)

앞에서 구한 LCV 출구 마하 수(M3)로 다음의 압력비 공식을 사용해 LCV 출구 압력을 계산합니다.

Pc / P3 = M3 * (((k - 1) * M3 ^ 2 + 2) / (k + 1))^(0.5)

(주)

Pc

: 임계 압력 (Critical Pressure)

Fanno Line 공식 가운데, 위에서 사용한 압력비 공식 외에 온도비와 속도비 공식도 있으나, 이상 기체에 대해 유도된 이들 공식을 사용해 LCV 출구의 습증기 온도 및 비체적을 계산할 경우, 계산된 성질 값들이 증기 표에 나타난 값들과 달라질 수 있습니다.

그러한 까닭에, Fanno Line 공식에 의해서는 단지 LCV 출구 압력(P3)만을 계산하고 나머지 성질들은 증기 표를 이용해 등엔트로피 과정으로 해석해 구합니다. (3.1절 가)항 참조)

나) 아임계 유동 (Sub-critical Flow)  (차례)

LCV 후단 배관 유동이 아임계 유동인 경우, 배관 출구 압력 P4는 P5와 동일하며, 출구 유속은 음속보다 작습니다.    이 경우 다음 그림에서와 같이 P4 압력과 임계 압력인 Pc 사이에 존재하는 임계 유동(Choked Flow)의 가상 배관을 가정하여 LCV 출구 압력 P3를 계산합니다.

가상 배관은 임계 유동(Choked Flow) 상태이므로, 가상 배관의 압력비 공식은 다음과 같습니다.

Pc / P4 = M4 * (((k - 1) * M4 ^ 2 + 2) / (k + 1))^(0.5)

Pc/P4 값을 알므로, 위 식에서 M4 값을 계산합니다.

M4 = (((1 + (k - 1) * (k + 1) * (Pc/P4)^(2))^(0.5) - 1) / (k - 1))^(0.5)

그리고 Fanno Line 공식에 M4 값을 대입해 가상 배관의 마찰 저항 계수 Ki 값을 계산합니다.

Ki = 1 / k * (1 / M4 ^ 2 - 1) + (k + 1) / 2 / k * ln(M4 ^ 2 * (k + 1) / ((k - 1) * M4 ^ 2 + 2))

실제 배관(K)과 가상 배관(Ki)을 합한 배관 역시 과임계 유동(Choked Flow) 상태이므로, 앞에 기술된 과임계 유동 해석 방법에 따라 P3 값과 기타 나머지 성질 값들을 구합니다.

 

4.3 일반 에너지 방정식으로 해석하는 방법  (차례)

참고 문헌 2에 소개된 방법으로, 일반 에너지 방정식과 연속 방정식에서, 일반적인 압축성 유체의 마찰 유동 방정식을 유도해, 증기 표로부터 압력 변화에 따른 비체적 변화을 읽어 계산하는 방법입니다.

일반적인 압축성 유체의 마찰 유동 방정식은 다음과 같습니다.

K = { Integral(dP / v)(from P3 to P4) } * 10000 / (W/A)^(2) * 2 * g - 2 * ln(v4/v3)

주)

K

: LCV 후단 배관의 마찰 저항 계수 (Flow Resistance Coefficient), K = f * L / D

 

dP

: 미소 압력 차 (Incremental Pressure Difference), kg/cm2

 

P3

: LCV 출구 압력, kg/cm2 abs.

 

P4

: LCV 후단 배관 출구 압력, kg/cm2 abs.

 

W

: 배수 유량, kg/sec

 

A

: LCV 후단 배관 단면적, m2

 

g

: 중력 가속도 = 9.81 m/sec2

 

v3

: LCV 출구 비체적, m3/kg

 

v4

: LCV 후단 배관 출구 비체적, m3/kg

위 공식에서 적분(Integral) 계산을 하기 위해서는 등 엔트로피 과정에서의 비체적과 압력의 상관 관계식이 필요하나, 습증기의 경우 이러한 상관 관계 식을 구하기 어려우므로, 컴퓨터와 증기 표를 사용해 다음과 같은 방법로 계산합니다.  아래 계산을 하기 전에 Bosworth-Cahn 공식(3.2절 참조)으로 임계 압력 Pc를 계산하고, LCV 후단 배관 출구 압력 P4를 선정합니다(2.4.2절 참조).

1)

등 엔트로피 과정에서 비체적의 변화가 무시할 정도로 작은 dP 값을 선정합니다.   예를 들어 dP = 0.01 kg/cm2 값을 선정합니다.

2)

포화 압력 Pva의 포화수가 P4 압력으로 등 엔트로피 팽창할 때의 비체적 값 v4를 계산합니다. (3.1절 가)항 참조)

3)

 P2 < P3 < P4 사이의 값에서 임의의 P3 값을 선정합니다.

4)

포화 압력 Pva의 포화수가 P3 압력으로 등 엔트로피 팽창할 때의 비체적 값 v3를 계산합니다.

5)

dP/v3 값을 계산합니다.

6)

포화 압력 Pva의 포화수가 P3_1(= P3 - dP) 압력으로 등 엔트로피 팽창할 때의 비체적 값 v3_1을 계산합니다.

7)

dP/v3_1 값을 계산해 dP/v3 값에 더합니다.

8)

압력을 계속 dP 만큼씩 낮추어가면서 P4 값이 될 때까지 6) 및 7) 단계 작업을 반복해 적분 값을 계산합니다.

9)

계산된 적분 값과 다른 주어진 조건들을 일반 에너지 방정식에 대입하여 K 값을 계산합니다.

10)

계산된 K 값이 LCV 후단 배관의 실제 K 값보다 크면, 더 작은 값의 P3 값을, 작으면 더 큰 P3 값을 선정하여 4) 단계에서 9) 단계까지의 작업을 다시 수행합니다.

계산된 K 값이 LCV 후단 배관의 실제 K 값과 동일하면, 등 엔트로피 과정으로 필요한 다른 성질 값들을 구한 후 계산을 종료합니다.

이 방법은 가정 없이 일반 에너지 방정식과 실제 습증기 성질을 이용한 계산 방법이므로, 앞에서 소개된 다른 두 방법보다 가장 실제 값에 근접한 결과 값들을 구할 수 있는 방법입니다.

 

참고 문헌 :  (차례)

1. Analytical Approach for Determination of Steam/Water Flow Capability in Power Plant Drain Systems by G.S. Liao and J.K. Larson, ASME Publication 76-WA/Pwr-4

2. Heater Drain Systems by A.L. Cahn, Bechtel Power Corp., presented for Feedwater Heater Workshop of EPRI held in July, 1979.

3. Flow of a Flashing Mixture of Water and Steam through Pipes by M.W. Benjamin and J.G. Miller, Transactions of the ASME, Oct., 1942

 


Copyright (c) 2000 - 2006 ENGSoft Inc., Seoul, Korea, All right reserved.