압축성 유동 해석에 사용되는 기본 공식들

이론 근거를 알아보기 위하여, 이상기체나 증기에 모두 적용되는 압축성 유동의 기본 유체 역학 방정식에 대해 살펴보기로 하겠습니다.

노즐이나 단열 배관 유동을 해석할 때 다음의 3가지 방정식을 사용합니다.

- 에너지 방정식 / 열역학 제1법칙 (Energy Equation / The 1'st Law of Thermodynamics)

- 연속 방정식 (Continuity Equation)

- 운동 방정식 (Momentum Equation)

이들 3가지 방정식 외에, 유동에 있어서 엔트로피는 같거나 항상 증가한다는 열역학 제2법칙도 적용됩니다.  즉, 노즐의 경우에는 마찰이 무시할 정도로 작으므로 등엔트로피 과정으로 해석하며, 마찰이 존재하는 단열 배관의 경우에는 유동이 등엔트로피 과정과 등엔탈피(총엔탈피 기준) 과정 사이의 과정으로 해석합니다.

한편, 소개되는 방정식들은 1차원 정상류 유동(One-dimensional, Steady Flow)에 적용되는 방정식들임을 참고 바랍니다.

 

에너지 방정식

유동의 일반 에너지 방정식은 다음과 같습니다.

q + w = du + d(p * v) + d(Vel^2 / 2/ g) + d(h)

(주)

q

: 단위 질량당 가해진 열량 (Heat added per mass of flowing fluid)

 

w

: 단위 질량당 가해진 일 (Work added per mass of flowing fluid)

 

u

: 내부 에너지 (Internal Energy)

 

p

: 정압 (Static Pressure)

 

v

: 비체적 (Specific Volume)

 

Vel

: 유속 (Fluid Velocity)

 

h

: 위치 수두 (Elevation Head)

단열(Adiabatic) 과정인 경우, q = 0이며, 외부에서 가해지는 일이 없는 경우 w = 0입니다.   엔탈피의 정의에 의해 du + d(pv) = dH 이며, 압축성 유체의 경우 비체적이 커서 위치 수두에 의한 영향은 무시할 수 있을 정도로 작으므로 d(h)는 무시할 수 있습니다.

그러므로 이러한 일반 에너지 방정식을, 노즐이나 단열 배관의 압축성 유동에 적용할 수 있는 에너지 방정식으로 정리하면 다음과 같습니다.

d(H) + d(Vel^2 / 2 / g / J) = 0

(주)

H

: 엔탈피 (Enthalpy), kJ/kg

 

Vel

: 유속(Fluid Velocity), m/sec

 

g

: 중력 가속도(9.80665), m/sec2

 

J

: 열의 일 당량(101.971621297793), kg-m/kJ

위 식을 풀어서 얘기하면, 노즐이나 배관에서 증기의 유속이 빨라지면, 그 유속에 해당하는 에너지만큼 증기의 엔탈피가 감소한다는 것을 의미합니다.  즉, 증기의 유속이 빨라지는 것은 엔탈피의 소비에 의해서 일어난다는 것입니다.  

그리고, 이 방정식은 노즐에서도 당연히 적용이 되지만, 배관의 경우에도 마찰이 존재하건 존재하지 않건, 단열 과정이면 모두 적용되는 방정식입니다.

유속이 0 인 경우에 엔탈피 값이 최대 값을 가지며, 이때의 엔탈피 값을 총 엔탈피(Total Enthalpy)라고 하며, 유로의 어느 한 지점에서의 총 엔탈피와 엔탈피, 유속의 관계 식은 다음과 같습니다.

Ht = H + Vel^2 / 2 / g / J

(주)

Ht

: 총 엔탈피 (Total Enthalpy), kJ/kg

즉, 속도에너지는 엔탈피가 변한 값이며, 단열 과정의 경우 총 엔탈피 값은 전 과정에 걸쳐 일정합니다.

 

연속 방정식

연속 방정식은 모든 유동에 적용되며, 다음과 같습니다.

W / A = Vel / v

(주)

W

: 질량 유량 (Mass Flow Rate), kg/sec

 

v

: 비체적 (Specific Volume), m3/kg

 

Vel

: 유속, m/sec

 

A

: 유로 단면적, m2

 

운동 방정식)

마찰이 존재하는 유로의 흐름에 대한 운동 방정식은 다음과 같습니다.

A * dP = τ* 3.14 * D * dL + W * dVel / g

(주)

A

: 유로 단면적

 

dP

: 압력 차

 

τ

: 유로 벽면 전단 응력 (Wall Shear Stress)

 

dL

: 유로 길이 차

 

D

: 유로 직경 혹은 수력 직경(Hydraulic Diameter)

 

g

: 중력 가속도

 

W

: 질량 유량

 

dVel

: 유속 차

운동 방정식의 첫 번째 항(A * dP)은 압력 차에 의해 유체가 흐르도록 하는 힘을 나타내며, 두 번째 항(τ* 3.14 * D * dL)은 유체의 흐름에 저항하는 마찰력을 나타내며, 세 번째 항(W * dVel / g)은 압력 강하에 의한 비체적 증가에 의해 유속이 빨라짐으로써 유체에 가해진 운동량의 증가를 나타냅니다.

즉 압력 강하에 의한 힘이, 유로의 마찰력을 극복하는 힘과 유체의 운동량을 증가시키는데 사용됨을 의미하는 방정식입니다.

위 식의 마찰 항에 τ= f * Vel^2 / v / 8을 대입한 후, 유로 단면적이 일정하다는 가정하에 전체 항을 A 혹은 3.14 * D^2 / 4 로 나누고, 양변에 비체적 v를 곱해 정리하면 다음과 같습니다.

v * dP = f * dL / D * Vel^2 / 2 / g + W / A * v * dVel / g

(주)

A

: 유로 단면적, m2

 

dP

: 압력 차, kg/m2

 

f

: 마찰 계수 (Friction Factor)

 

dL

: 유로 길이 차, m

 

D

: 유로 직경 혹은 수력 직경(Hydraulic Diameter), m

 

g

: 중력 가속도 = 9.81 m/sec2

 

dV

: 유속 차, m/sec

 

W

: 질량 유량, kg/sec

 

v

: 비체적, m3/kg

위 식은 각항의 부호가 (+) 값이 되도록 정리한 것입니다.

 

음속 계산식

압축성 유동에서는 질식(Choke) 유동 여부를 판단하기 위하여 임계 압력을 계산하는데, 임계 압력이란 유속이 음속과 같아지는 압력을 의미합니다.   

유체에서의 음속의 정의는, 압력이 등엔트로피 과정으로 미소하게 변할 때의 밀도 변화 양의 역수로 표시됩니다.

Velc = (dP / dRo * g)^0.5  @ isentropic infinitesimal change

(주)

Velc

: 음속 (Sonic Velocity), m/sec

 

dP

: 압력 변화, kg/m2

 

dRo

: 압력 변화에 따른 밀도 변화, kg/m3

 

g

: 중력 가속도, 9.81 m/sec2

 

이러한 일반 음속 식을, 일반 열역학 이론을 사용해 정리하면 다음과 같이 표시됩니다.

Vc = (dP / dRo * g)^0.5  @ isentropic infinitesimal change

    = (k * dP / dRo * g)^(0.5) @ isothermal infinitesimal change

이상 기체 상태 방정식 (P * v = R * T)을 이용해 위의 등온 과정 식을 적분하면, 다음과 같은 이상 기체의 음속 식을 구할 수 있습니다.

SonicVel = Sqr(k * g * J * P * v) * 100 = Sqr(k * Ru / MW * T / 10) * 100, m/sec

(주)

SonicVel

: 음속 (Sonic Velocity), m/sec

 

k

: 비열 비 (Cp/Cv)

 

Ru

: 보편 기체 상수(Universal Gas Constant, 8.314472), kJ/K/kmole

 

g

: 중력 가속도(9.80665), m/sec2

 

T

: 기체 온도, degree Kelvin

 

P

: 기체 압력, bara

 

v

: 기체 비체적, m3/kg

 

J

: 열의 일 당량(101.971621297793), kg-m/kJ

 

이상기체 방정식

압력(P)와 온도(T)를 알 때, 해당 상태의 비체적(v), 엔탈피(H), 엔트로피(S) 값은 아래 이상기체 방정식으로 계산할 수 있습니다.

v = Ru / MW * T / P / 100, m3/kg

H = Ru / MW * k / (k-1) * (T - 273.15), kJ/kg 273.15 K 기준 엔탈피

S = Ru / MW * k / (k-1) * Ln(T/273.15) - Ru / MW * Ln(P/1.01325), kJ/kg/K 273.15 K, 1.01325 bara 기준 엔트로피

주)

P

: 이상기체 압력, bara

 

T

: 이상기체 온도, oK

 

H

: 이상기체 엔탈피, kJ/kg

 

S

: 이상기체 엔트로피, kJ/kg/K

 

v

: 이상기체 비체적, m3/kg

 

MW

: 몰 중량(Mole Weight), 물 MW = 18

 

k

: 비열 비 (Cp/Cv)

 

Ru

: 보편 기체 상수(Universal Gas Constant, 8.314472), kJ/K/kmole

 


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