이상 기체 단열 배관의 압축성 유동 해석

고압 질소 계통에서 감압 밸브(Pressure Reducing Valve)를 통해 보일러 드럼에 질소를 주입하는 경우 얼마 만큼의 질소 유량으로 주입이 될까요?  감압 밸브에 의해 유량이 결정될까요, 아니면 감압 밸브 하류측의 배관에 의해 결정이 될까요?

설계할 때, 원하는 설계 유량의 감압 밸브를 선정한다고 해도, 감압 밸브 하류측의 배관이 감압 밸브의 유량을 흘릴 수가 없다면, 설계 유량을 흘릴 수 없습니다.  즉, 감압 밸브 하류측 배관의 유동을 해석할 수 있어야, 해당 계통을 통해 설계 유량을 흘릴 수 있습니다.

이러한 해석은, 증기 배관의 배수 계통을 설계할 때도 필요하고, 증기 세정 유량을 계산할 때도 필요하며, 안전변의 배기 배관을 해석할 때도 필요합니다.

발전소 설계에서 주로 사용하는 유체가 증기이므로, 발전소 설계를 위해서는 증기 배관의 압축성 유동 해석 방법이 필요합니다.  그런데 증기는 이상 기체와 다른 유체 역학적 특성을 가지고 있어서, 이상 기체 배관의 압축성 유동 해석 방법을 사용할 수는 없으며, 별도의 해석 방법을 사용해야 합니다.

하지만, 증기 배관의 압축성 유동을 이해하기 위해서 먼저 이상 기체 배관의 압축성 유동을 이해하면 도움이 됩니다.   증기의 경우에도, 과열 증기의 경우 비열비 1.3의 이상 기체와 유사한 유동을 보이므로, 과열 증기 배관의 경우 이상 기체 배관으로 해석을 해도 무리가 없습니다.  그리고 발전소 계통에 질소 주입 계통이나 압축 공기와 같이 이상 기체 유동으로 해석해야 하는 부분도 존재하므로, 이상 기체 배관의 압축성 유동 해석 방법의 이해와 습득은 반드시 필요합니다.

실제 기체는 이상 기체와 그 열역학적 특성이 다소 차이가 납니다.   그 차이는 기체에 따라 다르고 아울러 압력, 온도에 따라서도 다릅니다.  이러한 실제 기체의 차이를 보정하는 계수로 압축성 계수(Compressibility Factor) Z 를 사용하며, 이상 기체와 실제 기체의 상태 방정식은 다음과 같이 표시됩니다.

이상 기체 상태 방정식 : p * v = R * T

실제 기체 상태 방정식 : P * v = Z * R * T

압축성 계수는 기체에 따라 다르므로, 대상이 되는 기체에 따라 달리 적용해야 하며, 각 기체별 압축성 계수에 대해서는 관련 문헌을 참조하기 바랍니다.   여기서는 압축성 계수를 고려하지 않은 이상 기체에 대한 압축성 유동 해석 방법을 소개합니다.   공기 및 질소의 경우 일반적으로 사용하는 압력, 온도 영역에서 1에 근접한 값을 가지고 있어서, 이상 기체 해석 방법을 그대로 사용해도 큰 무리가 없습니다.

 

마찰이 존재하는 단열 배관

배관과 노즐이 다른 점은 마찰과 열 손실이 존재한다는 점입니다.   마찰이 존재한다는 것은 과정이 등엔트로피 과정이 아니라는 것을 의미하여, 열 손실이 존재한다는 것은 등엔탈피 과정이 아니라는 것을 의미합니다.   

배관 해석에서 마찰은 항상 존재하나, 열 손실은 경우에 따라 고려 대상이 될 수도 있고 그렇지 않을 수도 있습니다.   열 손실을 고려해야 하는 해석은 송유관이나 천연 가스 이송 관과 같이 장거리 배관에서 필요하며, 발전소에는 열 손실을 고려해야 할 정도로 긴 배관은 없습니다.

마찰과 열 손실을 모두 고려한 이상 기체 유동 해석 공식을 Rayleigh Line 공식이라 하며, 열 손실은 고려하지 않고 마찰 손실만 고려한 이상 기체 유동 해석 공식을 Fanno Line 공식이라고 하는데, 여기서는 발전소에 적용이 가능한 Fanno Line 공식을 소개하기로 하겠습니다.

Fanno Line 공식은 일정한 단면적의 유로를 흐르는, 마찰 손실이 존재하는 단열 과정(Adiabatic Process)의 이상 기체 질식(Choke) 유동을 나타내는 공식이며, 공식 유도에서 사용된 가정은 다음과 같습니다.

한글

영어

비열비(k = cp/cv)가 일정한 이상 기체

Perfect gas (constant specific heat)

1차원 정상류 유동

Steady, one-dimensional flow

전 유로에 걸쳐 일정한 마찰 계수

Constant friction factor over length of conduit

단열 유동(벽을 통한 열전달 없음.)

Adiabatic flow (no heat transfer through wall)

원형 유로가 아닌 경우에, 유효 직경 D는 수력 반경(유동(Flow) 단면적 / 젖은 둘레 길이)의 4배로 계산

Effective conduit diameter D is four times hydraulic radius (cross-sectioned area divided by wetted perimeter)

위치 수두의 변화는 마찰 손실에 비해 무시할 정도로 작음.

Elevation changes are unimportant compared with friction effects

일의 출입이 없음.

No work added to or extracted from the flow

유의할 점은, Fanno Line 공식은 질식(Choke) 유동, 즉 배관 출구 단면의 유속이 음속 즉, 마하 수(Mach No.)가 1인 질식 유동에 대한 공식이라는 점입니다.

 

Fanno Line 공식

아래 그림에 나타난 바와 같이, 질식 유동(Choked Flow)인 경우 배관 출구 단면 압력(P2)을 임계 압력(Pc)이라고 칭하며, 출구 단면 유속은 음속, 즉 마하 수(Mach No.) 1입니다.  이러한 질식 유동이 존재하려면 출구 배압(P3)은 임계 압력과 같거나 낮아야 합니다.   출구 배압이 임계 압력보다 높으면, 질식 상태가 될 수 없으며, 다음에 설명되는 아임계(Sub-Critical) 상태가 됩니다.   아임계 상태는 출구 단면 유속이 음속보다 낮은 유속 상태를 일컫습니다.   

에너지 방정식과, 연속 방정식, 운동 방정식, 그리고 이상 기체의 상태 방적식 (P * v = R * T) 및 음속 계산 식 (Vc = (k * g * R * T)^(0.5))을 이용해, 배관 입구 마하 수(M1)와 배관의 마찰 저항 계수(K), 그리고 비열비(k)의 관계를 나타내는 Fanno Line 공식은 다음과 같습니다.

K = 1 / k * (1 / M1 ^ 2 - 1) + (k + 1) / 2 / k * ln(M1 ^ 2 * (k + 1) / ((k - 1) * M1 ^ 2 + 2))

 그리고, 임계 압력비, 임계 속도비 및 임계 온도비를 배관 마하 수(M1)의 항으로 표시한 식들은 다음과 같습니다.

Pc / P1 = M1 * (((k - 1) * M1 ^ 2 + 2) / (k + 1))^(0.5)

Vc / V1 = 1 / M1 * (((k - 1) * M1 ^ 2 + 2) / (k + 1))^(0.5)

Tc / T1 = ((k - 1) * M1 ^ 2 + 2) / (k + 1)

 

질식 유동(Choked Flow)

우리가 설계에서 다루는 문제들은, 단열 배관 입구에 우리기 이미 알고 있는 상태의 기체가 존재하는 경우입니다.  그리고 그 상태가 정지 상태일 경우도 있고, 어느 일정 유속을 가지고 있는 상태일 수도 있습니다.   

여기서의 설명은 배관 입구 상태의 유속이 0인 정지 상태인 경우에 대해 설명합니다.  하지만, 입구 상태 유속이 0이 아닌 경우에는 배관 입구 상태를 유속이 0인 상태로 환산하여 계산하면 됩니다.

우선 유속을 엔탈피로 환산하여 계산합니다.   에너지 방정식을 살펴보면, 단열 배관의 경우 유속은 엔탈피의 또 다른 형태의 에너지로서, 엔탈피로 환산할 수 있습니다.     압축성 유동 해석에 사용되는 기본 공식들 참조

이상 기체의 경우 엔탈피는 온도만의 함수입니다.   그러므로 유속을 엔탈피로 환상하여 구한, 유속이 0인 상태의 입구 엔탈피에 해당하는 온도를 계산할 수 있습니다.    그리고, 유속이 0이 아닌 상태를 유속이 0인 상태로 환산되는 과정은 아무런 비가역 요소가 없는 과정으로 볼 수 있으므로, 유속이 0인 상태에서의 압력은 등엔트로피 과정의 압력 온도 관계 식으로부터 계산할 수 있습니다.

여기서 한기지 유의해서 생각해야 하는 점은, 앞에서 언급한 배관 입구 상태는 배관 입구 단면 상태와는 다른 상태라는 점을 주의깊게 생각해야 합니다.   예를 들어, 유속을 가지고 흐르는 주증기 배관에서 직각으로 분기되는 배수 배관의 경우를 살펴 보면, 유속을 포함하는 주증기 배관의 상태가 배관 입구 상태로서, 이는 분기되는 배수 배관 입구 단면의 상태와 다릅니다.  주증기 배관의 유속이 60 m/sec라고 할 때, 분기되는 배수 배관의 입구 단면 유속은 60 m/sec가 아니고, 배수 배관의 유동 해석에 의해 결정됩니다.   이 경우, 엔탈피로 환산되는 유속은 60 m/sec의 유속입니다.  즉 60 m/sec를 엔탈피로 환산해서 주증기 상태를 유속이 0인 상태로 환산하여, 분기되는 배기 배관 해석을 위한 입구 상태로 사용한다는 의미입니다.

 

우리가 설계에서 다루는 단열 배관의 질식 유동 문제는 다음 2가지 경우의 문제입니다.

1) 단열 배관이 어떤 이상 기체 원천(Source)에 바로 연결되어, 단열 배관을 통해 흐를 수 있는 최대 유량이 흐르는 경우입니다.  이상 기체는 아니지만 Steam Blowing하는 경우, 보일러 드럼으로부터 영구 배관과 가설 배관을 통해 대기 중으로 증기가 방출되는 경우가 이 경우입니다.   이 경우, 배관을 통해 흐를 수 있는 최대 유량이 흐르며, 증기의 원천인 보일러 드럼과 단열 배관 입구 단면 사이의 과정은 등엔트로피 과정으로 해석합니다.   이 경우는, 이상 기체 원천과 단열 배관 사이에 등엔트로피 팽창을 하는 노즐이 설치되어 있다고 가정하는 것과 동일합니다.  (아래 그림 자유 유량 - Free Flow)

2) 또 다른 경우는, 단열 배관을 통해 지정된 유량(W/A)이 흐르는 경우입니다.  이 경우 지정 유량은 상기 1)항의 최대 유량과 같거나 작아야 합니다.   안전변을 통해 제어된 유량이 배기 배관을 통해 흐르는 경우가 이 경우에 해당됩니다.  안전변을 통해 배출되는 증기 유량이, 배기 배관이 흘릴 수 있는 최대 유량과 같거나 작은 경우가 이 경우에 해당됩니다.   이 경우 단열 배관 입구 단면의 엔트로피 값이 원천의 엔트로피 값과 같거나 큽니다.  즉, 기체 원천과 단열 배관 입구 단면 사이의 과정은 등엔트로피 과정이거나(지정 유량이 최대 유량과 같은 경우), 폴리트로픽 과정(지정 유량이 최대 유량보다 작은 경우)입니다. (아래 그림 지정 유량 - Given Flow)

 

 

질식 압력은, 자유 유량인 경우와 지정 유량인 경우가 동일하지 않습니다.   먼저 자유 유량을 계산하는 방법은 다음과 같습니다.

1) 아래 Fanno Line 공식에서 계산되는 K 값이 주어진 배관의 K 값과 동일해지는 M1 값을 시행 착오법으로 구합니다. 엑셀을 사용하는 경우 시행 착오법 계산은 "목표값 찾기" 기능을 사용하면 됩니다.

K = 1 / k * (1 / M1 ^ 2 - 1) + (k + 1) / 2 / k * ln(M1 ^ 2 * (k + 1) / ((k - 1) * M1 ^ 2 + 2))

2) 아래 식들을 연이어서 살펴보면, M1 값은 T1의 함수인 것을 알 수 있습니다.   즉, T1 값을 알면 다른 주어진 값들을 사용하여 M1 값을 계산할 수 있습니다.   아래 식들을 순차적으로 계산해서 상기 1)항에서 구한 M1 값과 동일한 M1 값이 계산되는 T1 값을 시행 착오법으로 구합니다.

H1 = Ru / MW * k / (k - 1) * (T1 - 273.15) ; 이상 기체 상태 방정식>

Vel1 = Sqrt((H0 - H1) * 2 * g * J) ; 에너지 방정식

SonicVel1 = Sqrt(k * Ru / MW * T1 / 10) * 100 ; 이상 기체 음속 계산식

M1 = Vel1 / SonicVel1 ; 마하 수의 정의

3) 자유 유량인 경우 0 지점과 1 지점 사이 과정은 등엔트로피 과정입니다.  그러므로, 상기 2)항에서 구한 T1 값을 가지고, 아래의 이상 기체의 등엔트로피 팽창 과정 식을 사용하여 P1 값을 계산합니다.

P1 = (T1 / T0)^(k/(k-1)) * P0 ; 이상기체의 등엔트로피 팽창 과정 식

4) 상기 2)항과 3)항에서 구한 T1, P1 값을 가지고, Fanno Line 공식 가운데 아래의 압력비 및 온도비 공식을 사용하여 질식 압력(Pc)과 질식 온도(Tc) 값을 계산합니다.

Tc = T1 * (1 + (k - 1) / 2 * M1 ^ 2) * 2 / (k + 1) ; Fanno Line 공식

Pc = P1 * M1 * Sqrt(Tc / T1) ; Fanno Line 공식

 

지정 유량인 경우에는, 상기 1), 2), 4)항 등은 자유 유량의 경우와 동일하며, 단지 3)항만 아래와 같이 다릅니다.  

3) 지정 유량인 경우 0 지점과 1 지점 사이 과정은 폴리트로픽 과정입니다.  그러므로, 이상 기체의 등엔트로피 팽창 과정 식을 사용하는 대신에, 상기 2)항에서 구한 Vel1 값과 지정 유량 W/A 값을 가지고 연속 방정식을 사용하여 비체적 v1 값을 계산한 다음, 이상 기체 상태 방정식을 사용하여 P1 값을 계산합니다.  이렇게 계산된 P1 값은 자유 유량으로 구한 P1 값과 같거나 작습니다.

v1 = Vel1 / W/A ; 연속 방정식

P1 = Ru / MW * T1 / v1 / 100 ; 이상 기체 상태 방정식

 

상기 4)항에서 계산된 Pc 값이 단열 배관의 배압인 P3 값과 같거나 크면, 단열 배관 출구 단면의 유속이 음속과 동일한 질식 상태가 되며(M2 = 1), 4)항에서 구한 Pc, Tc 값이 단열 배관 출구 단면의 압력과 온도인 P2, T2 값이 됩니다(P2 = Pc, T2 = Tc).

반면에, 계산된 Pc 값이 배압 P3 값보다 작으면, 배관 출구 단면의 유속이 음속보다 작은 아임계 유동 상태가 됩니다(M2 < 1).  그리고, 이 경우 배관 출구 단면의 압력 P2 값은 배압인 P3 값과 같아집니다(P2 = P3) .

 

4.3.3 아임계 유동 (Sub-critical Flow)

앞에서 설명한 바와 같이, 배관 유동이 아임계 유동인 경우 배관 출구 단면 압력 P2는 배압 P3와 동일하며, 출구 유속은 음속보다 작습니다.(P2 = P3, M2 < 1)    Fanno Line 공식은 질식 유동에 대한 공식이므로, 아임계 유동을 하는 배관을 직접적으로 해석할 수는 없습니다.  

그래서 사용하는 해석 방법이, 아래 그림과 같이 실제 배관의 하류측에 질식 유동이 발생하는 가상의 배관을 가정하여 해석하는 방법입니다.

지점 2 하류측에 하나의 가상 배관을 가정하고, 그 가상 배관 출구에서 유속이 음속과 같아지는 질식 유동이 일어난다고 가정하는 것입니다.   그러면, 질식 유동이 일어나는 2개의 배관이 아래와 같이 생깁니다.

- 지점 1에서 가상 배관 출구 단면까지의 질식 유동 배관

- 지점 2에서 가상 배관 출구 단면까지의 질식 유동 배관

이들 2 배관에 Fanno Line 공식을 이용하여 해석하는데, 그 기본 개념은, "지점 1에서 가상 배관 출구 단면까지 질식 유동을 일으키는 배관의 마찰 저항 계수(Kc)는, 지점 2에서 가상 배관 출구 단면까지 질식을 일으키는 배관의 마찰 저항 계수(K_image)에 실제 배관의 마찰 저항 계수(K)를 더한 값과 같다" 라는 개념을 이용하여 해석합니다.

Kc = K_image + K

(주)

Kc

: 지점 1에서 가상 배관 출구 단면까지 질식 유동을 일으키는 배관의 마찰 저항 계수

 

K_image

: 지점 2에서 가상 배관 출구 단면까지 질식 유동을 일으키는 배관의 마찰 저항 계수

 

K

: 실제 배관의 마찰 저항 계수

이상 기체의 아임계 유동 해석은, 미리 알지 못하는 가상 배관을 가정하여 해석하므로, 좀 더 복잡한 시행 착오에 의한 반복 계산을 해야 합니다.

이들 반복 계산 방법을 다음과 같이 별도의 페이지에 정리하였습니다.   동 페이지에는 질식 유동과 아임계 유동에 대한 내용이 함께 기술되어 있으며, 내용을 쉽게 이해할 수 있도록 계산 예제 값들이 표시된 페이지도 작성하였습니다.

 


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