균일한 단면적의 마찰이 존재하는 단열 배관을 흐르는 이상기체의 압축성 유동 해석

단위 면적당 질량 유량(Given Flow)과 마찰 저항 계수 K 값이 주어진 경우

계산 예제

 

1) 주어진 조건

    이상기체 원천(Source)인 지점 0의 상태 값, 배관 마찰 저항 계수 K 및 단위 면적당 질량 유량

P0_org = 100 bara, T0_org = 603.15 oK (330 oC), Vel0_org = 30 m/sec, P3 = 50 bara, W/A = 3485 kg/sec/m2, K = 20, MW = 18, k = 1.3

 

2) 주어진 W/A 값이 동일한 조건의 자유 유동(Free Flow) 상태의 W/A 값보다 작아야 함.   이는 계산 결과에서 열역학 제2법칙이 성립함을 점검함으로써 확인이 가능함.   즉 원천 상태와 배관 입구 단면 상태 사이의 과정에서 엔트로피가 증가하지 않음을 점검함으로서 확인함.    이 과정에서 엔트로피가 증가하지 않음은, 이들 2 상태 사이에 운동량 보존의 법칙이 성립함을 의미함.

 

 3) 이상기체 원천의 정체(Stagnation) 상태 값 계산 ; Velocity가 0 인 상태

dH = Vel0_org^2 / 2 / g / J = 0.45 kJ/kg

H0 = Ru / MW * k / (k - 1) * (T0_org - 273.15) + dH = 660.9886 kJ/kg

T0 = H0 / Ru * MW / k * (k - 1) + 273.15 = 603.37482 oK

P0 = (T0 / T0_org) ^ (k / (k - 1)) * P0_org 'bara ; 이상 기체의 등엔트로피 팽창 과정 식 = 100.16162 bara

S0 = Ru / MW * k / (k - 1) * Ln(T0 / 273.15) - Ru / MW * Ln(P0 / 1.01325) = -0.53553 kJ/kg/K

 

4) Kc = K 조건을 만족하는 M1 값 계산

M1 for Kc = 0.18023

Kc = 1 / k * (1 / M1 ^ 2 - 1) + (k + 1) / 2 / k * Ln(M1 ^ 2 * (k + 1) / ((k - 1) * M1 ^ 2 + 2)) = 20.00000

 Kc(20.00000) = K(20)  ; OK

5) 4)에서 계산된 M1 값을 가지는 T1 값 계산

T1 for M1 = 600.4493 oK

H1 = Ru / MW * k / (k - 1) * (T1 - 273.15) = 655.13280 kJ/kg

Vel1 = Sqrt((H0 - H1) * 2 * g * J) = 108.22022 m/sec

SonicVel1 = Sqrt(k * Ru / MW * T1 / 10) * 100 = 600.46947 m/sec

M1 = Vel1 / SonicVel1 = 0.18023 ; OK

 

6) 주어진 유량으로부터 P1, v1 값 계산

v1 = Vel1 / W/A = 0.031053 m3/kg

P1 = Ru / MW * T1 / v1 / 100 = 89.31674 bara

S1 = Ru / MW * k / (k - 1) * Ln(T1 / 273.15) - Ru / MW * Ln(P1 / 1.01325) = -0.49233 kJ/kg/K

 

7) Tc, Pc 값 계산

Tc = T1 * (1 + (k - 1) / 2 * M1 ^ 2) * 2 / (k + 1) = 524.67382 oK

Pc = P1 * M1 * Sqrt(Tc / T1) = 15.04745 bara

 

6) Pc(= 15.04745 bara) < P3(= 50 bara) 이므로, 아임계(SubCritical) 상태이며, 아래의 아임계 상태 계산 수행

 

7) W/A2 = W/A 값이 되는 T2 값 계산

T2 for K_image = 594.23184 oK

P2 = P3 = 50 bara

v2 = Ru / MW * T2 / P2 / 100 = 0.054897 m3/kg

H2 = Ru / MW * k / (k - 1) * (T2 - 273.15) = 642.68774 kJ/kg/K

S2 = Ru / MW * k / (k - 1) * Ln(T2 / 273.15) - Ru / MW * Ln(P2 / 1.01325) = -0.24518 kJ/kg/K

Vel2 = Sqrt((H0 - H2) * 2 * g * J) = 191.31581 m/sec

W/A2 = Vel2 / v2 = 3485.00 kg/sec/m2

W/A2(3485.00 kg/sec/m2) = W/A(3485 kg/sec/m2) ; OK

SonicVel2 = Sqrt(k * P2 * 10 * v2) * 100 = 597.35254 m/sec

M2 = Vel2 / SonicVel2 = 0.32027

K_image = 1 / k * (1 / M2 ^ 2 - 1) + (k + 1) / 2 / k * Ln(M2 ^ 2 * (k + 1) / ((k - 1) * M2 ^ 2 + 2)) = 4.82571

 

8) Kc = K + K_image 조건을 만족하는 M1 값 계산

M1 for Kc = 0.16378

Kc = 1 / k * (1 / M1 ^ 2 - 1) + (k + 1) / 2 / k * Ln(M1 ^ 2 * (k + 1) / ((k - 1) * M1 ^ 2 + 2)) = 24.82571

 Kc(24.82571) = K(20) + K_image(4.82571) ; OK

9) 8)에서 계산된 M1 값을 가지는 T1 값 계산

T1 for M1 = 600.95689 oK

H1 = Ru / MW * k / (k - 1) * (T1 - 273.15) = 656.14881 kJ/kg

Vel1 = Sqrt((H0 - H1) * 2 * g * J) = 98.38495 m/sec

SonicVel1 = Sqrt(k * Ru / MW * T1 / 10) * 100 = 600.72322 m/sec

M1 = Vel1 / SonicVel1 = 0.16378 ; 8)항의 M1 for Kc 값과 동일 OK

v1 = Vel1 / W/A = 0.028231 m3/kg

P1 = Ru / MW * T1 / v1 / 100 = 98.32854 bara

 S1 = Ru / MW * k / (k - 1) * Ln(T1 / 273.15) - Ru / MW * Ln(P1 / 1.01325) = -0.53511 kJ/kg/K

 

 12) 원천 상태와 배관 입구 단면 상태 사이의 과정에서 엔트로피가 증가하지 않음을 점검

S1(-0.53511 kJ/kg/K) => S0(-0.53553 kJ/kg/K) ; OK

 

 * 이상기체 상태 방정식 ;

계산 과정에서 압력(P)와 온도(T)를 알 때, 해당 상태의 비체적(v), 엔탈피(H), 엔트로피(S), 음속(SonicVel) 값은 아래 이상기체 상태 방정식으로 계산함.

v = Ru / MW * T / P / 100, m3/kg

H = Ru / MW * k / (k-1) * (T - 273.15), kJ/kg 273.15 K 기준 엔탈피

S = Ru / MW * k / (k-1) * Ln(T/273.15) - Ru / MW * Ln(P/1.01325), kJ/kg/K 273.15 K, 1.01325 bara 기준 엔트로피

SonicVel = Sqr(k * g * J * P * v) * 100 = Sqr(k * Ru / MW * T / 10) * 100, m/sec

 

주)

W/A

: 단위 면적당 질량 유량, kg/sec/m2 (W/Ac = 질식 상태의 W/A)

 

약자(단위)

: 압력 P(bara), 온도 T(oK), 엔탈피 H(kJ/kg), 엔트로피 S(kJ/kg/K), 비체적 v(m3/kg), 유속 Vel(m/sec), 마하 수(Mach)

 

 

엔탈피는 273.15 oK 온도 기준, 엔트로피는 273.15 oK 온도 및 10.1325 bara 압력 기준

 

P0, T0 등

: 이상기체 원천(Source) 상태 값, 예를 들면 P0는 이상기체 원천의 압력

 

P1, T1 등

: 배관 입구 단면 이상기체 상태 값, 예를 들면 T1은 배관 입구 온도

 

Pc, Hc 등

: 이상기체 질식(Choking) 상태 값, 예를 들면 Hc는 질식(Choking) 상태 엔탈피

 

P2, H2 등

: 배관 출구 단면 이상기체 상태 값, 예를 들면 H2는 배관 출구 엔탈피

 

P3

: 배관 출구 배압 (Back Pressure)

 

K

: 배관 마찰 저항 계수 = f L/D (f : 마찰 계수, D : 배관 직경, L : 배관 길이)

 

 

  Kc : 질식 상태 배관의 마찰 저항 계수

 

 

  K_image : 아임계 상태 가상 배관의 마찰 저항 계수 차이

 

g

: 중력 가속도(9.80665), m/sec2

 

J

: 열의 일 당량(101.971621297793), kg-m/kJ

 

SonicVel

: 음속(Sonic Velocity), m/sec

 

MW

: 몰 중량(Mole Weight), 물 MW = 18

 

k

: 비열 비 (Cp/Cv)

 

Ru

: 보편 기체 상수(Universal Gas Constant, 8.314472), kJ/K/kmole

 

dH

: Vel0에 상당하는 엔탈피 값, kJ/kg

  

 


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