균일한 단면적의 마찰이 존재하는 단열 배관을 흐르는 이상기체의 압축성 유동 해석
단위 면적당 질량 유량(Given Flow)과 마찰 저항 계수 K 값이 주어진 경우
1) 주어진 조건
이상기체 원천(Source)인 지점 0의 상태 값, 배관 마찰 저항 계수 K 및 단위 면적당 질량 유량
P0_org, T0_org, Vel0_org, P3 W/A, MW, k
2) 주어진 W/A 값이 동일한 조건의 자유 유동(Free Flow) 상태의 W/A 값보다 작아야 함. 이는 계산 결과에서 열역학 제2법칙이 성립함을 점검함으로써 확인이 가능함. 즉 원천 상태와 배관 입구 단면 상태 사이의 과정에서 엔트로피가 증가하지 않음을 점검함으로서 확인함. 이 과정에서 엔트로피가 증가하지 않음은, 이들 2 상태 사이에 운동량 보존의 법칙이 성립함을 의미함.
3) 이상기체 원천의 정체(Stagnation) 상태 값 계산 ; Velocity가 0 인 상태
dH = Vel0_org^2 / 2 / g / J
H0 = Ru / MW * k / (k - 1) * (T0_org - 273.15) + dH
T0 = H0 / Ru * MW / k * (k - 1) + 273.15
P0 = (T0 / T0_org) ^ (k / (k - 1)) * P0_org 'bara ; 이상 기체의 등엔트로피 팽창 과정 식
S0 = Ru / MW * k / (k - 1) * Ln(T0 / 273.15) - Ru / MW * Ln(P0 / 1.01325)
4) Kc = K 조건을 만족하는 M1 값 계산
M1 for Kc
Kc = 1 / k * (1 / M1 ^ 2 - 1) + (k + 1) / 2 / k * Ln(M1 ^ 2 * (k + 1) / ((k - 1) * M1 ^ 2 + 2))
5) 4)에서 계산된 M1 값을 가지는 T1 값 계산
T1 for M1
H1 = Ru / MW * k / (k - 1) * (T1 - 273.15)
Vel1 = Sqrt((H0 - H1) * 2 * g * J)
SonicVel1 = Sqrt(k * Ru / MW * T1 / 10) * 100
M1 = Vel1 / SonicVel1
6) 주어진 유량으로부터 P1, v1 값 계산
v1 = Vel1 / W/A
P1 = Ru / MW * T1 / v1 / 100
S1 = Ru / MW * k / (k - 1) * Ln(T1 / 273.15) - Ru / MW * Ln(P1 / 1.01325)
7) Tc, Pc 값 계산
Tc = T1 * (1 + (k - 1) / 2 * M1 ^ 2) * 2 / (k + 1)
Pc = P1 * M1 * Sqrt(Tc / T1)
8) Pc >= P3 이면 질식(Choke) 상태이며, 배관 출구(지점 2)의 상태는 질식 상태(Pc, Tc, M2 = 1) 상태임.
Pc < P3 이면 아임계(SubCritical) 상태이며, 아래의 아임계 상태 계산 수행
9) W/A2 = W/A 값이 되는 T2 값 계산
T2 for K_image
P2 = P3
v2 = Ru / MW * T2 / P2 / 100
H2 = Ru / MW * k / (k - 1) * (T2 - 273.15)
S2 = Ru / MW * k / (k - 1) * Ln(T2 / 273.15) - Ru / MW * Ln(P2 / 1.01325)
Vel2 = Sqrt((H0 - H2) * 2 * g * J)
W/A2 = Vel2 / v2
SonicVel2 = Sqrt(k * P2 * 10 * v2) * 100
M2 = Vel2 / SonicVel2
K_image = 1 / k * (1 / M2 ^ 2 - 1) + (k + 1) / 2 / k * Ln(M2 ^ 2 * (k + 1) / ((k - 1) * M2 ^ 2 + 2))
10) Kc = K + K_image 조건을 만족하는 M1 값 계산
M1 for Kc
Kc = 1 / k * (1 / M1 ^ 2 - 1) + (k + 1) / 2 / k * Ln(M1 ^ 2 * (k + 1) / ((k - 1) * M1 ^ 2 + 2))
11) 10)에서 계산된 M1 값을 가지는 T1 값 계산
T1 for M1
H1 = Ru / MW * k / (k - 1) * (T1 - 273.15)
Vel1 = Sqrt((H0 - H1) * 2 * g * J)
SonicVel1 = Sqrt(k * Ru / MW * T1 / 10) * 100
M1 = Vel1 / SonicVel1
v1 = Vel1 / W/A
P1 = Ru / MW * T1 / v1 / 100
S1 = Ru / MW * k / (k - 1) * Ln(T1 / 273.15) - Ru / MW * Ln(P1 / 1.01325)
12) 원천 상태와 배관 입구 단면 상태 사이의 과정에서 엔트로피가 증가하지 않음을 점검
S1 => S0
* 이상기체 상태 방정식 ;
계산 과정에서 압력(P)와 온도(T)를 알 때, 해당 상태의 비체적(v), 엔탈피(H), 엔트로피(S), 음속(SonicVel) 값은 아래 이상기체 상태 방정식으로 계산함.
v = Ru / MW * T / P / 100, m3/kg
H = Ru / MW * k / (k-1) * (T - 273.15), kJ/kg 273.15 K 기준 엔탈피
S = Ru / MW * k / (k-1) * Ln(T/273.15) - Ru / MW * Ln(P/1.01325), kJ/kg/K 273.15 K, 1.01325 bara 기준 엔트로피
SonicVel = Sqr(k * g * J * P * v) * 100 = Sqr(k * Ru / MW * T / 10) * 100, m/sec
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주) |
W/A |
: 단위 면적당 질량 유량, kg/sec/m2 (W/Ac = 질식 상태의 W/A) |
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약자(단위) |
: 압력 P(bara), 온도 T(oK), 엔탈피 H(kJ/kg), 엔트로피 S(kJ/kg/K), 비체적 v(m3/kg), 유속 Vel(m/sec), 마하 수(Mach) |
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엔탈피는 273.15 oK 온도 기준, 엔트로피는 273.15 oK 온도 및 10.1325 bara 압력 기준 |
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P0, T0 등 |
: 이상기체 원천(Source) 상태 값, 예를 들면 P0는 이상기체 원천의 압력 |
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P1, T1 등 |
: 배관 입구 단면 이상기체 상태 값, 예를 들면 T1은 배관 입구 온도 |
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Pc, Hc 등 |
: 이상기체 질식(Choking) 상태 값, 예를 들면 Hc는 질식(Choking) 상태 엔탈피 |
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P2, H2 등 |
: 배관 출구 단면 이상기체 상태 값, 예를 들면 H2는 배관 출구 엔탈피 |
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P3 |
: 배관 출구 배압 (Back Pressure) |
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K |
: 배관 마찰 저항 계수 = f L/D (f : 마찰 계수, D : 배관 직경, L : 배관 길이) |
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Kc : 질식 상태 배관의 마찰 저항 계수 |
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K_image : 아임계 상태 가상 배관의 마찰 저항 계수 차이 |
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g |
: 중력 가속도(9.80665), m/sec2 |
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J |
: 열의 일 당량(101.971621297793), kg-m/kJ |
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SonicVel |
: 음속(Sonic Velocity), m/sec |
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MW |
: 몰 중량(Mole Weight), 물 MW = 18 |
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k |
: 비열 비 (Cp/Cv) |
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Ru |
: 보편 기체 상수(Universal Gas Constant, 8.314472), kJ/K/kmole |
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dH |
: Vel0에 상당하는 엔탈피 값, kJ/kg |
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