균일한 단면적의 마찰이 존재하는 단열 배관을 흐르는 이상기체의 압축성 유동 해석

자유 유동(Free Flow) 상태로, 마찰 저항 계수 K 값만 주어진 경우

(해당 배관이 흘릴 수 있는 최대 유량 계산)

계산 예제

 

1) 주어진 조건

    이상기체 원천(Source)인 지점 0의 상태 값, 배관 마찰 저항 계수 K 및 배관 출구 배압

P0_org = 100 bara, T0_org = 603.15 oK (330 oC), Vel0_org = 30 m/sec, P3 = 50 bara, K = 20, MW = 18, k = 1.3

 

 2) 이상기체 원천의 정체(Stagnation) 상태 값 계산 ; Velocity가 0 인 상태

dH = Vel0_org^2 / 2 / g / J = 0.45 kJ/kg

H0 = Ru / MW * k / (k - 1) * (T0_org - 273.15) + dH = 660.9886 kJ/kg

T0 = H0 / Ru * MW / k * (k - 1) + 273.15 = 603.37482 oK

P0 = (T0 / T0_org) ^ (k / (k - 1)) * P0_org 'bara ; 이상 기체의 등엔트로피 팽창 과정 식 = 100.16162 bara

S0 = Ru / MW * k / (k - 1) * Ln(T0 / 273.15) - Ru / MW * Ln(P0 / 1.01325) = -0.53553 kJ/kg/K

 

3) Kc = K 조건을 만족하는 M1 값 계산

M1 for Kc = 0.18023

Kc = 1 / k * (1 / M1 ^ 2 - 1) + (k + 1) / 2 / k * Ln(M1 ^ 2 * (k + 1) / ((k - 1) * M1 ^ 2 + 2)) = 20.00000

Kc(20.00000) = K(20)  ; OK

4) 3)에서 계산된 M1 값을 가지는 T1 값 계산

T1 for M1 = 600.4493 oK

H1 = Ru / MW * k / (k - 1) * (T1 - 273.15) = 655.13280 kJ/kg

Vel1 = Sqrt((H0 - H1) * 2 * g * J) = 108.22022 m/sec

SonicVel1 = Sqrt(k * Ru / MW * T1 / 10) * 100 = 600.46947 m/sec

M1 = Vel1 / SonicVel1 = 0.18023 ; OK

 

5) 등엔트로피 과정으로 P1, v1 값 계산

 P1 = (T1 / T0)^(k/(k-1)) * P0 ; 이상 기체의 등엔트로피 팽창 과정 식 = 98.07411 bara

v1 = Ru / MW * T1 / P1 / 100 = 0.028280 m3/kg

W/A1 = Vel1 / v1 = 3826.70 kg/sec/m2

S1 = Ru / MW * k / (k - 1) * Ln(T1 / 273.15) - Ru / MW * Ln(P1 / 1.01325) = -0.49233 kJ/kg/K

 

6) Tc, Pc 값 계산

Tc = T1 * (1 + (k - 1) / 2 * M1 ^ 2) * 2 / (k + 1) = 524.67382 oK

Pc = P1 * M1 * Sqrt(Tc / T1) = 16.52282 bara

 

* 배관 입구에 노즐이 설치된 것과 동일한 상태의 해석이며, 주어진 조건에서 최대 유량이 흐르는 상태임.  

* 0 지점과 1 지점을 등엔트로피 과정으로 해석하면, 0 지점과 1 지점 사이에 운동 방정식은 자연적으로 성립하게 됨.

 

7) Pc(= 16.52282 bara) < P3(= 50 bara) 이므로, 아임계(SubCritical) 상태이며, 아래의 아임계 상태 계산 수행

 

8) Kc = K + K_image 조건을 만족하는 P1 과 T2 값 계산

지점 2에서 질식 상태 가상 배관 출구 단면까지의 K_image 계산

T2 for K_image = 594.20637 oK

P2 = P3 = 50 bara

v2 = Ru / MW * T2 / P2 / 100 = 0.054895 m3/kg

H2 = Ru / MW * k / (k - 1) * (T2 - 273.15) = 642.63676 kJ/kg

S2 = Ru / MW * k / (k - 1) * Ln(T2 / 273.15) - Ru / MW * Ln(P2 / 1.01325) = -0.24526 kJ/kg/K

Vel2 = Sqrt((H0 - H2) * 2 * g * J) = 191.58209 m/sec

W/A2 = Vel2 / v2 = 3490.00 kg/sec/m2

SonicVel2 = Sqrt(k * P2 * 10 * v2) * 100 = 597.33975 m/sec

M2 = Vel2 / SonicVel2 = 0.32073

K_image = 1 / k * (1 / M2 ^ 2 - 1) + (k + 1) / 2 / k * Ln(M2 ^ 2 * (k + 1) / ((k - 1) * M2 ^ 2 + 2)) = 4.80702

 

지점 1에서 질식 상태 가상 배관 출구 단면까지의 Kc 계산

P1 for Kc = 98.43260 bara

T1 = (P1 / P0)^((k-1)/k) * T0 ; 이상 기체의 등엔트로피 팽창 과정 식 = 600.95509 oK

v1 = Ru / MW * T1 / P1 / 100 = 0.028201 m3/kg

H1 = Ru / MW * k / (k-1) * (T1 - 273.15) = 656.14520 kJ/kg

S1 = Ru / MW * k / (k - 1) * Ln(T1 / 273.15) - Ru / MW * Ln(P1 / 1.01325) = - 0.53553 kJ/kg/K

Vel1 = Sqr((H0 - H1) * 2 * g * J) = 98.42165 m/sec

W/A1 = Vel1 / v1 = 3490.00 kg/sec/m2

SonicVel1 = Sqr(k * g * J * P1 * v1) * 100 = 600.72232 m/sec

M1 = Vel1 / SonicVel1 = 0.16384

Kc = 1 / k * (1 / M1 ^ 2 - 1) + (k + 1) / 2 / k * Ln(M1 ^ 2 * (k + 1) / ((k - 1) * M1 ^ 2 + 2)) = 24.80702

Kc(24.80702) = K(20) + K_image(4.80702) ; OK

* W/A1 = W/A2 이 되어야 하므로, W/A1과 W/A2가 동일한 값을 가지면서 Kc = K + K_image를 만족하는 P1과 T2 값을 찾아야 함.

* Kc 값을 증가시키려면 W/A1 값을 줄여야 하며, K_image 값을 증가시키려면 W/A2 값을 증가시켜야 함.

 

* 이상기체 상태 방정식 ;

계산 과정에서 압력(P)와 온도(T)를 알 때, 해당 상태의 비체적(v), 엔탈피(H), 엔트로피(S), 음속(SonicVel) 값은 아래 이상기체 상태 방정식으로 계산함.

v = Ru / MW * T / P / 100, m3/kg

H = Ru / MW * k / (k-1) * (T - 273.15), kJ/kg 273.15 K 기준 엔탈피

S = Ru / MW * k / (k-1) * Ln(T/273.15) - Ru / MW * Ln(P/1.01325), kJ/kg/K 273.15 K, 1.01325 bara 기준 엔트로피

SonicVel = Sqr(k * g * J * P * v) * 100 = Sqr(k * Ru / MW * T / 10) * 100, m/sec

 

주)

W/A

: 단위 면적당 질량 유량, kg/sec/m2 (W/Ac = 질식 상태의 W/A)

 

약자(단위)

: 압력 P(bara), 온도 T(oK), 엔탈피 H(kJ/kg), 엔트로피 S(kJ/kg/K), 비체적 v(m3/kg), 유속 Vel(m/sec), 마하 수(Mach)

 

 

엔탈피는 273.15 oK 온도 기준, 엔트로피는 273.15 oK 온도 및 10.1325 bara 압력 기준

 

P0, T0 등

: 이상기체 원천(Source) 상태 값, 예를 들면 P0는 이상기체 원천의 압력

 

P1, T1 등

: 배관 입구 단면 이상기체 상태 값, 예를 들면 T1은 배관 입구 온도

 

Pc, Hc 등

: 이상기체 질식(Choking) 상태 값, 예를 들면 Hc는 질식(Choking) 상태 엔탈피

 

P2, H2 등

: 배관 출구 단면 이상기체 상태 값, 예를 들면 H2는 배관 출구 엔탈피

 

P3

: 배관 출구 배압 (Back Pressure)

 

K

: 배관 마찰 저항 계수 = f L/D (f : 마찰 계수, D : 배관 직경, L : 배관 길이)

 

 

  Kc : 질식 상태 배관의 마찰 저항 계수

 

 

  K_image : 아임계 상태 가상 배관의 마찰 저항 계수 차이

 

g

: 중력 가속도(9.80665), m/sec2

 

J

: 열의 일 당량(101.971621297793), kg-m/kJ

 

SonicVel

: 음속(Sonic Velocity), m/sec

 

MW

: 몰 중량(Mole Weight), 물 MW = 18

 

k

: 비열 비 (Cp/Cv)

 

Ru

: 보편 기체 상수(Universal Gas Constant, 8.314472), kJ/K/kmole

 

dH

: Vel0에 상당하는 엔탈피 값, kJ/kg

  

 


Since 2000, ENGSoft Inc., Seoul, Korea, All right reserved.